Trois angles dans un triangle

• Dans un triangle ABC il y a 3 angles
• ∠CBA, ∠BAC et ∠ACB
• Et même si on bouge le triangle, on dirait que :
  ∠CBA+∠BAC+∠ACB= 180°
• La propriété étonnante peut se formuler ainsi :
• «Pour n'importe quel triangle, si on ajoute les trois angles, on trouve un angle plat (180°)»
• Étrange ?
• Il doit bien y avoir une raison à ça !

Une démonstration basée sur les symétries...

• On peut démontrer cette propriété de la manière suivante :
• on commence par marquer les milieux des côtés [AB] et [AC]
• Ils vont jouer un rôle important dans la preuve, tout tourne autour d'eux !

Symétrie par rapport à I

On construit E, le symétrique de C par rapport à I
• et donc I est le milieu du segment [EC]

Demi-tour autour de I

• Comme I est le milieu de [AB], par un demi-tour autour de I, B est envoyé sur A
• et I ne bouge pas

Demi-tour autour de I

• Par un demi-tour autour de I :
  • C → E
  • B → A
  • I → I
• Donc les triangles IBC et IAE sont symétriques par rapport à I
• par un demi-tour autour du point I, IBC vient se superposer sur IAE
• Les deux triangles ont même longueurs et même angles

Triangles symétriques = angles égaux

Symétrie autour de J

• On appelle F le symétrique de J par rapport à B
• et donc J est le milieu du segment [BF]

Triangles symétriques

• Pour les mêmes raisons que tout à l'heure,
• les triangles JBC et JAF sont symétriques par rapport à J

Triangles symétriques = angles égaux

• ∠JCB est égal à quel angle ?

La symétrie conserve les angles

• Dans la symétrie autour de J,
• C est envoyé sur A, donc
• ∠(JCB) = ∠(JAF)

∠ EAF = 180°

• Les points E, A et F semblent alignés
• D'où ça vient ?

EACB est un parallélogramme...

• ...car ses diagonales [EC] et [AB] se coupent en leur milieu : le point I
• Les côtés opposés d'un paralléllogramme sont parallèles
• donc la droite (EA) est parallèle à la droite (BC)

AFCB est un parallélogramme...

• J est le milieu de [BF]
• mais J est aussi le milieu de [AC]
• Un quadrilatère avec un centre de symétrie est toujours un parallélogramme
• donc AFCB est un parallélogramme
• Conclusion :
• (AF) est parallèle à (BC)

Les droites (EA) et (AF) sont confondues

• Résumons :
• (EA) // (BC)
• (AF) // (BC)
• car deux droites parallèle à une même troisième sont parallèles entre elles
• donc (EA) // (AF)
• Mais elles passent toutes les deux par le point A !
• Donc elles sont confondues : (EA)=(AF)

Fin de la démonstration

• Les points E, A et F sont alignés. Autre ment dit ∠EAF est un angle plat : ∠EAF = 180°
• ∠EAF = ∠EAB + ∠BAC + ∠CAF
• Donc ∠EAB + ∠BAC + ∠CAF = 180°
• Le théorème est démontré !
CQFD
Ce Qu'il Fallait Démontrer